Вращательное движение имеет свои особенности. Например, открывая дверь, действуют на нее перпендикулярно плоскости. Если давить на дверь вдоль ее плоскости, она просто не сдвинется с места (рис. 5.1). В этой ситуации величина силы не определяет результат однозначно. Конечно, если учесть силы, действующие на дверь со стороны петель, и написать уравнения динамики, можно надеяться полностьюреш ить задачу о движении двери. Но все же кажется, что если явно использовать ограничения, вызываемые неподвижными петлями, которые позволяют двери лишь вращаться, то описание движения заметно упростится. Рассмотрим более простую задачу. Пусть две точечных массы закреплены на невесомом и жестком стержне, который может вращаться на шарнире. На тело массы m1 действует сила F, перпендикулярная стержню. Попробуем описать движение системы. Для каждой массы напишем второй закон Ньютона: m1a1 = F ? f1, m2a2 = f2 . Здесь f1,2 – силы, с которыми стержень действует на соответствующие массы. Обе эти силы, очевидно, направлены вверх (на рисунке), так как составляющей вдоль стержня быть не может, по крайней мере, в первый момент времени: ускорения тел перпендикулярны стержню. При этом ускорение a1 считаем направленным вниз, (естественно,вдоль силы F ), a2 – вверх. Уравнений для решения задачи не хватает: их всего два, а неизвестных – четыре (f1,f2,a1,a2). Для начала немного упростим задачу. Ускорения a1,2 явно не независимы. Движения масс – это поворот стержня. Для описания вращения тела линейные координаты, скорости, ускорения неудобны: они разные для разных точек. Лучше будет ввести угол поворота фи – он при твердом стержне для всего тела одинаковый. Угол меряется в радианах, то есть просто в единицах (безразмерный). Вместо скорости тогда вводим угловую скорость w = dфи/dt (размерность 1/с). Она показывает быстроту вращения тела. Дальше по аналогии угловое ускорение e = dw/dt – это скорость изменения угловой скорости (1/с в квадрате). Угловые кинематические величины для твердого тела просто связаны с линейными. Малое перемещение точки на радиусе R от оси вращения равно дельтаx = Rдельтафи. Отсюда v = дельтаx/дельтаt = Rдельтафи/дельтаt = Rw . Аналогично линейное ускорение (тангенциальное) a=Rdw/dt=Re. Используем эти выводы, выразив линейные ускорения через угловые. Получаем a1=eL1,a2=eL2. Теперь систему уравнений можно переписать в виде: m1L1e=F?f1, m2L2e=f2. Число неизвестных уменьшилось до трех, но двух уравнений все еще недостаточно. Необходимое третье уравнение уже нельзя извлечь из кинематики. Теперь, видимо, нужно искать связь между силами f1 и f2, которую определяет стержень. Есть надежда, что внутренние силы f1 и f2 можно найти, рассматривая деформацию стержня. Для этого его надо разбить на малые части и рассмотреть их взаимодействие. Такой путь мало вдохновляет. Хорошо бы вообще избавиться от внутренних сил. Вспомним, что в аналогичной ситуации – при описании поступательного движения центра масс системы – внутренние силы выпадают. Для исключения внутренних сил используем энергетический подход. Силы, приложенные к концам стержня со стороны тел m1 и m2, согласно третьему закону Ньютона равны по величине и направлены противоположно силам f1 и f2. По отношению к стержню эти силы – внешние. Подсчитаем их работу при повороте стержня на малый угол дельтафи по часовой стрелке: дельтаA =f1L1дельтафи?f2L2дельтафи. Заметим, что сила, действующая на стержень со стороны оси, не совершает работу, так как здесь нет перемещения. Работа дельтаA должна равняться изменению кинетической энергии стержня. Но для невесомого стержня масса, а с ней и кинетическая энергия, равны нулю. Тогда получаем: дельтафи(f1L1 ? f2L2)=0 или f1L1=f2L2. Это и есть недостающее уравнение, замыкающее систему. Выпишем все уравнения системы по порядку: m1L1e=f2, m2L2e=F?f1, f1L1=f2L2. Умножим первое уравнение на L1, второе – на L2 и сложим почленно. Получим: (m1L1 в квадрате+m2L2 в квадрате)e=FL1 . Отсюда сразу находится угловое ускорение: e=FL1/(m1L1 в квадрате+m2L2 в квадрате) и, следовательно, полностью описывается движение системы. Заметим, что энергетический подход, как это часто бывает, не позволяет увидеть многих деталей задачи. В частности, невозможно судить о внутренних силах, не совершающих работы. Полезно рассмотреть систему более детально. Кажется разумным, что вращение не должно сильно зависеть от устройства стержня, если он достаточно жесткий. Возьмем модель стержня из двух частей (длины их L1 и L2), которые могут одним концом поворачиваться в шарнире. Другие концы соединены очень жесткой пружиной. Силы реакций со стороны масс f1 и f2 слегка изгибают конструкцию. Поскольку модель описывает почти недеформируемый стержень, углы а1, а2 и ? малы и на рисунке сильно преувеличены. Вдоль пружины действует сила ее сжатия T , а вдоль стержней – силы их растяжения G1 и G2. Эти силы действуют именно вдоль тел, иначе пружина начнет изгибаться, а легкие стержни начнут вращаться слишком быстро. Выделим малые участки стержней вблизи прикрепленных тел и запишем для каждого участка (с нулевой массой) второй закон Ньютона. Проектируя на перпендикуляр к пружине, получаем G1а1 ? f1 = 0, G2а2 ? f2 = 0. Считаем синус равным углу, а косинус – единице, так как для почти недеформируемого стержня углы малы. Видно, что силы G1,2 в стержне гораздо больше приложенных изгибающих сил f1,2 . (Известно, что изогнуть и сломать линейку гораздо легче, чем разорвать ее). Тогда, проектируя силы на направление пружины, можно вообще пренебречь проекциями f1,2 , так что внутренние силы G1,2 = T : силы растяжения плеч практически равны силе сжатия пружины. Отсюда f1 = Tа1, f2 = Tа2 . Углы а1 и а2 связаны с длинами сторон треугольника теоремой синусов: а1/L2 = а2/L1 , откуда имеем уже полученное выше соотношение f1L1 = f2L2 . Разумно ожидать, что и более рафинированные модели жесткого стержня дадут тот же результат. Как всегда, энергетический подход более общий и простой, но зато менее информативный. Из него так и осталось бы неизвестным существование огромных сил, деформирующих стержень. Вернемся к рассмотренной задаче. Что изменится в решении, если сила F будет направлена не перпендикулярно стержню, а под некоторым углом а? Разложим вектор F на проекции: F|| – параллельную и F – перпендикулярную стержню. Легко понять, что вместо FL1 в уравнениях везде должно стоять F?L1 . Продольная составляющая попросту не крутит. Произведение перпендикулярной составляющей силы на расстояние от оси вращения M = F перпендикулярно r называется моментом силы. Его можно выразить также через величины векторов и угол между ними: M = Fr sin а. С тем же успехом можно написать M = F · r перпен. Проекция r перпен радиуса на перпендикуляр к линии действия силы называется плечом силы. Если плечо равно нулю, сила ни- чего вращать не сможет. Если действуют несколько сил Fi , приложенных в различных точках ri , и тело состоит не из двух, а из любого количества масс mj на расстояниях Lj от оси вращения, то уравнение, описывающее динамику вращения системы, запишется в виде: Ie = M , где I = сумма mjL2j – момент инерции тела, M = сумма Mi = сумма Firiперпен – суммарный момент сил. Момент инерции считается по всем массам, входящим в тело, а в моменте сил учитываются только внешние силы (подробнее об этом см. п. 5.3). Отдельные моменты сил могут быть разных знаков (надо следить, в какуюс торону они крутят). Условно можно принять положительным направление против часовой стрелки, т.е. в сторону возрастания угла поворота, определенного стандартным образом. Можно и обратное направление назвать положительным, если это кажется удобнее в конкретной задаче.