4.4 Движение в полях. Потенциальные кривые
При заданном силовом поле прямой путьоты скания движения – сначала найти скорость
по ускорению, а затем уже координату. Закон сохранения энергии позволяет решить такую задачу «в одно действие», то есть полностью описать движение (а не только найти
характерные точки вроде максимальной высоты). Вначале проведем качественный анализ движения в заданном потенциальном поле.
Пусть график U(x) имеет вид, показанный на рисунке 4.4. Закон сохранения энергии
mvв2/2+ U(x) = E
позволяет сразу сделать полезные выводы. Полная энергия E постоянна и задана, а
кинетическая энергия положительна. Поэтому движение возможно только при условии
U < E.
Проведем на рисунке несколько возможных уровней энергии E1, E2, E3, . При полной энергии, равной E1 , график U проходит ниже уровня энергии
в довольно ограниченной области. В этой потенциальной яме только и возможно движение частицы. С
приближением к стенке ямы (где U = E ) кинетическая энергия и, значит, скорость обращаются в нуль.
Частица разворачивается и идет назад; движение имеет колебательный характер.
Если увеличить полную энергию до E2 , то область движения расширяется. Заметим, что справа появилась еще одна разрешенная область, в которой частица либо
сразу движется вправо, либо сначала влево, а после отражения от стенки ямы – вправо.
Попасть из одной области в другую частица не может.
Наконец, при энергии E3 (выше потенциального барьера) частица может двигаться во всей изображенной области. Возможно, она уйдет на бесконечность, а может
быть, отразится от барьеров, которые на рисунке не поместились.
Очень помогает наглядно представить себе движение такая аналогия. Согнем проволочку точно в виде графика U(x) и поставим вертикально. Тогда потенциальная
энергия бусины, надетой на проволочку, mgh , как раз будет иллюстрировать состояние частицы в нашем поле. Уровень энергии задается начальным положением бусины:
выше она никак не поднимется. В общем, из состояния покоя потенциальная энергия
стремится уменьшиться (бусина соскальзывает ниже). Качественно движение бусины
(или шарика в яме такой формы) будет похоже на движение частицы.
Перейдем к полному решению задачи о движении частицы. Из закона сохранения
энергии находится скоростьв зависимости от координаты:
v(x) = корень из 2(E ? U)/m.
Поскольку v = дельтаx/дельтаt , можно найти интервал времени для прохождения расстояния
дельтаx:
дельтаt = (корень из m/2)*дельтаx/(корень из E ? U) или dt = (корень из m/2)*dx/(корень из E ? U).
Интегрируя, находим движение, правда, в виде обратной функции t(x) .
Примеры.
1. Пусть потенциальная энергия постоянна. Без нарушения общности можно считать
U = 0. Тогда
dt =(корень из m/2E)*dx , t =(корень из m/2E)*x , или x=(корень из 2E/m)*t.
Поскольку E = mvв2/2 , это то же самое, что x = vt . Энергетический подход по
сравнению со «школьным» в этом простом примере не дает особых преимуществ.
2. Рассмотрим тело массы m, прикрепленное к горизонтально расположенной пру-
жине жесткости k . Тогда потенциальная энергия U = kxв2/2 . Выражение для
приращения времени примет вид:
dt =(корень из m/2)*dx/(корень из E ? U)=(корень из m/k)*dx/(корень из 2E/(k ? xв2)).
Для краткости обозначим 2E/k = x0 – это максимальное отклонение массы от
положения равновесия. Для зависимости t(x) получим:
t =(корень из m/k)интеграл от 0 до x(dx/(корень из x0в2? xв2)).
Чтобы найти интеграл (хотя он «табличный»), сделаем замену переменной. Пусть
x = x0 sin y . Тогда имеем:
(корень из x0в2?xв2) = x0 cos y; dx=dx/dy · dy = x0 cos y · dy .
Отсюда окончательно получаем:
t =(корень из m/k)интеграл от0доy (x0 cos ydy)/x0 cos y=(корень из m/k)*y=(корень из m/k) · arcsin(x/x0).
Теперь можно найти x(t): x =x0 sin((корень из k/m) · t) . Получили колебательное
движение, чего и можно было ожидать сразу .
Значение законов сохранения выходит за пределы физики, распространяясь даже на
биологию, экономику, и т.д. Они порождают новый способ мышления, основа которого –
не динамика, а ограничения на нее. В физике же законы сохранения настолько важны,
что для любой задачи прежде всего стоит подумать, нельзя ли их применить.