2.2 Инерциальные системы отсчета. Законы Ньютона Галилей первым начал развивать механику на должном уровне, но основные результаты получил Ньютон (1689). Традиционно принято выделять три закона Ньютона. Первый закон – повторение результата Галилея: тело движется равномерно и прямолинейно либо покоится, если на него не действуют силы. Сейчас принято до- полнять формулировку словами «в инерциальной системе отсчета». Инерциальная же система – это в которой выполняется первый закон. Чтобы избежать тавтологии, мож- но считать, что первый закон постулирует существование инерциальных систем и под- тверждается опытом. Способ проверить инерциальность может быть таким: повторяем в нашей системе отсчета опыты Галилея. Если изолированное от всех воздействий тело не ускоряется, система будет инерциальной. Например, шар может лежать на гладкой горизонтальной поверхности стола, установленного на железнодорожной платформе, которая стоит на рельсах или равномерно катится по ним. Это инерциальные системы. Двигаясь с постоянной скоростью относительно любой инерциальной системы, полу- чаем другую инерциальную систему. Хорошим примером инерциальной системы будет система, связанная с так называемыми «неподвижными звездами». Очевидно и наличие неинерциальных систем. Достаточно закрутиться вокруг оси, и вся Вселенная завертится в обратную сторону по кругам, в том числе и вполне изо- лированные тела. Если вагон начнет разгоняться, шар внутри этого вагона покатится по горизонтальной поверхности. Это тоже будет неинерциальная система, в которой не выполняется закон инерции. Основная заслуга Ньютона – формулировка законов динамики. Второй закон определяет движение не изолированного тела, на которое действуют другие тела. Как должен выглядеть такой закон? Ньютон мог рассуждать примерно таким образом. Из результатов Галилея следова- ло, что движение само по себе несущественно, то есть скорость тела не может опреде- ляться воздействиями на него в данный момент. Ведь в другой системе отсчета скорость может быть нулевой! Когда мы едем в автомобиле (по хорошей дороге), мы не чувству- ем скорости, но легко замечаем ее изменения. Внешние воздействия могут определять изменение скорости во времени, то есть ускорение. Заметим, что Галилей такой фи- зической величины не знал, и даже старался избегать умножения или деления величин разных размерностей. Свой закон качения он формулировал примерно так: отношения пройденных расстояний равны отношению квадратов времен. Ньютон уже не имел та- ких препятствий и, кроме того, сам открыл необходимый для механики математический аппарат – производные и интегралы. Попробуем искать закон движения в таком виде: ускорение ? воздействию. Мы ничего не потеряем, если слово «ускорение» заменим буквой a , (от английского acceleration), «воздействие» же заменим на слово «сила» или на букву F (от англий- ского force). Пока это только жонглирование словами или буквами, ведь мы еще не знаем, как определить (для физика это значит измерить) силу: a ? F . Нам точно известно, что такое ускорение. Теперь, взяв какое-то тело (назовем его эта- лонным) мы можем изучать силы! Если под влиянием некоторого воздействия тело получает единичное ускорение (1 м/с2), то и силу назовем единичной. При ускорении 2 м/с2 сила будет двойной. Пример – действие на тело растянутой пружины. Очевид- но, что чем больше растягивать пружину, тем «лучше» она ускоряет пробное тело, тем больше будет ускорение. Такие опыты показывают, что сила примерно пропорцио- нальна растяжению пружины. Укрепив пружину на дощечке, можно проградуировать прибор и получить измеритель силы – динамометр (от греческого dynamis – сила). Теперь можно изучить действие силы на различные тела. Ясно, что железнодорож- ный вагон будет ускоряться медленнее, чем маленькая тележка. Пробуя ускорять тела разных размеров, из различных материалов, приходим к уравнению: ma = F , (2.1) где m (англ. mass) – характеристика каждого конкретного тела. Собственно, это опре- деление массы. Мы можем проделать опыты по разгону ряда тел, например, при еди- ничной силе, и определить массы этих тел из уравнения (2.1). Заметим, что форма этого уравнения пока что не накладывает никаких ограниче- ний на закон движения. Например, масса могла бы оказаться зависящей от силы. Нет никакой гарантии, что масса имеет какие-либо удобные простые свойства. Выяснить это можно только в опыте. Меняя силу, мы из опыта можем убедиться, что m не зависит от F ! Для любо- го тела удвоенная сила дает удвоенное ускорение. Следовательно, для каждого тела масса m – константа. Далее, опыт показывает, что при единичной силе «удвоенное» тело, составленное из двух эталонных, или единичных, имеет половинное ускорение. Следовательно, m – аддитивная характеристика, массы тел складываются из масс составляющих. Это свойство не зависит от формы, цвета, материала и т.п. составляю- щих. Теперь мы знаем, что все тела составлены из молекул, и масса, грубо говоря, – это количество таких структурных единиц. Что будет, если на тело одновременно есть несколько воздействий? Снова опыт пока- зывает, что когда тело тянут двумя динамометрами, ускорение будет таким же, как если приложить одну «результирующую» силу, равную сумме показаний динамометров. Но если тянуть в разные стороны, результирующая сила будет разностью элементарных сил. В общем, если направления действия сил различны, результирующая сила ока- зывается равна векторной сумме отдельных сил. Поскольку ускорение – тоже вектор, можно записать уравнение движения в более общем виде: ma = F . (2.2) Итак, в духе принципа Галилея, внешнее воздействие (сила F ) определяет не скорость, а ускорение, которое одинаково во всех инерциальных системах. Вместо (2.1) мы могли бы написать m2a = F3 , но тогда были бы аддитивными куб «силы» и квадрат «мас- сы», что явно неудобно. Следовательно, форма записи уравнений – это результат не «вывода», приведенного выше, а главным образом опыта. Уравнения (2.1) и (2.2) есть различные формы записи второго закона Ньютона. Разумеется, приведенная последовательность «экспериментов», хотя и последова- тельна логически, вряд ли наиболее удобна. Например, массы тел лучше определять путем взвешивания: здесь используется экспериментально установленная пропорцио- нальность массы и силы тяжести. Исторически закон Ньютона, конечно, был не ре- зультатом намеченной выше цепочки опытов, а обобщением накопившейся практики человечества, выражением «здравого смысла» в области механики. Вместе с тем заме- тим, что такие эксперименты провести, разумеется, можно, причем средствами совре- менной школьной лаборатории. Очень полезное приспособление – «воздушная дорога» – позволяет практически исключить трение. Применяемая в Новосибирской физико- математической школе конструкция состоит из трубы прямоугольного сечения с рядом малых отверстий на верхней стенке. В трубу нагнетается воздух обычным бытовым пылесосом, и по ней могут скользить исследуемые тела. Третий закон Ньютона: силы между телами взаимны. Не только нельзя по- действовать на тело и самому избежать его воздействия (стукнуть по стене и не почувствовать удара), но и силы эти равны точно и противоположны по направлению: F12 = ?F 21 . В простых случаях мы уже можем убедиться в правильности этого закона. Пусть тела масс m1 и m2 соприкасаются, и первое тело толкают с известной силой F (рис. 2.1). Ускорение системы из (1) будет a = F/(m1 + m2) . Таким же должно быть ускорение каждого тела. На второе действует пока неизвестная сила F12 со стороны первого. Записывая второй закон Ньютона, получаем a = F12/m2 , откуда F12 = Fm2/(m1+m2) . Рассмотрим теперь движение тела m1 : a = (F + F21)/m1. F21 – это сила действия второго тела на первое. Отсюда находим F21 = ?F + am1 = ?Fm2/(m1 + m2) = ?F12 . Мы получили искомое равенство сил, совершенно не зная, как взаимодействуют тела (сколько точек соприкосновения, каковы упругие свойства материалов, . . . ). Все, что нам понадобилось – это тот опытный факт, что тела могут ускоряться вместе, сохраняя соприкосновение. Тела могли бы быть склеены или вообще быть частями единого тела. Рис. 2.1. Рис. 2.2. Конечно, мы не «вывели» третий закон Ньютона, а только показали его справед- ливость на примере. Важно, что и в более сложных случаях закон выполняется. Тела могут иметь разные ускорения (при ударе, электрическом или гравитационном взаимо- действии). Независимо от этого третий закон обязан выполняться. Более сложный случай – два тела, соединенных нитью (рис. 2.2). Такая система позволяет рассматривать растягивающие усилия. В качестве первого (вполне разум- ного) приближения примем, что нить не изменяет своей длины (нерастяжима). Тогда по-прежнему ускорения тел одинаковы. Но тел уже три! Как мы знаем, противополож- ными будут силы взаимодействия каждого тела с нитью: F13 = ?F31, F23 = ?F32 . Непосредственно «через пространство» тела не взаимодействуют, поэтому сил F12 и F21 попросту нет. Все же иногда говорят, что тела взаимодействуют «через нить». При этом подразумевают, что нить имеет пренебрежимо малую массу. А тогда из уравнения движения, написанного для нити, mнити · a = 0· a = F23 + F13 , получаем равенство F13 = ?F23 . Тогда о нити можно забыть, и силы, действующие на первое и второе тела, будут подчиняться правилу взаимности: F32 = ?F31 . Н оэто – не третий закон Ньютона, а в общем случайное равенство сил между различными парами тел. Если массой нити пренебречь нельзя, такого равенства, конечно, не будет. Можно тела соединить пружиной нулевой массы, так что ускорения тел не будут равны из-за деформации пружины. И в этом случае можно приравнять F32 = ?F31 . Если же масса пружины не мала, надо честно рассматривать три тела, силы между взаимодействующими парами будут равны по величине и противоположны. Подробнее смысл третьего закона Ньютона и его необходимость мы выясним далее. Понимание законов Ньютона достигается практикой решения задач. Здесь отметим важные свойства сил: • Сила имеет источник: в механике это какое-то другое тело. • Принцип суперпозиции: силы, действующие на данное тело со стороны других, векторно складываются. Сумму называют равнодействующей или результирую- щей силой. Кроме того, важно знать, как не надо говорить о силе. ma – это не сила, а ее ре- зультат. Cреди всех сил со стороны различных тел никогда нет «силы» ma (и почти никогда нет силы, численно равной по величине)! Произведение массы тела на его ускорение – это результат действия нескольких сил, каждая из которых имеет источ- ник. Никакое другое тело не действует на рассматриваемое тело с такой силой. Равным образом сила – это не ma , а воздействие со стороны другого тела, и только равнодействующая всех реальных сил равна ma . Научные термины по необходимости происходят от слов, обозначающих донаучные, бытовые понятия. Обычно принято указывать, что физическая величина совсем мало похожа на своего языкового предка. Может быть, это верно для таких тонких понятий, как цвет кварков. Но в механике почти всегда слова обозначают практически то же, что в обычном языке. Сильный человек на любом приборе, измеряющем силу, будет иметь преимущество перед слабым. То же относится и к понятию массы. Изложенные законы составляют основу механики. До Ньютона механика была до- вольно бессистемным набором сведений и рецептов. Ньютон же написал уравне- ния, позволяющие (в принципе) решить любую задачу. Впервые возникла научная теория. Размерность силы из (2.1) г·см/с2. Эта единица системы СГС (сокращенно санти- метр, грамм, секунда) называется дина. В системе СИ будет кг·м/с2 = Н(ньютон). Подставляя кг и м, видим, что 1 Н= 105 дин. Внесистемная единица – кГ (килограмм силы, или вес тела массой 1 кг на Земле). 1 кГ = 1 кг ?g = 9.8 Н(час то считают 10) или примерно 106 дин.