Законы сохранения – это в некотором смысле альтернатива динамическому подходу. Конечно, в принципе, динамика Ньютона позволяет решитьлюбую задачу. Но при этом часто возникают препятствия, которые можно разбитьна два основных класса: Уравнения динамики могут плохо поддаваться решению, особенно для сложных систем. Часто динамическое описание оказывается излишне детализированным. Нас, может быть, ряд тонкостей вообще не интересует, однако мы вынуждены всякий раз составлять большие системы уравнений и пытаться их решать. Динамика требует знания всех важных сил. Между тем ясно, что все существую- щие в природе силы никогда не будут точно известны. В особенности это касается внутренних взаимодействий в любом реальном теле. Законы сохранения в ряде случаев позволяют избежатьук азанных трудностей, и прак- тически во всех случаях – сделатьх отя бы качественные, но тем не менее полезные выводы о движении. 4.1 Замкнутые системы. Сохранение импульса Введем понятие замкнутой физической системы. Для начала можно понимать под этим систему, совершенно изолированную (хотя бы путем удаления от всех тел) от любых внешних воздействий. Ясно, что практически такого выполнить нельзя. Хотя бы малые воздействия всегда останутся. Более разумно назвать замкнутой систему, для которой внешние воздействия в каком-то смысле малы. В каком – сейчас выяснится. Для любой системы полный импульс P меняется под действием суммы внешних сил F : дельтаP/дельтаt=F или дельтаP = Fдельтаt . Если сумма внешних сил F мала, то незначительным будет и изменение импульса системы дельтаP за некоторое время дельтаt . Тогда можно считать, что импульс сохраняется, то есть, если и изменяется, то пренебрежимо мало: P(t+дельтаt) = P(t) или P(t2) = P(t1) . Это и будет закон сохранения импульса: конечный импульс системы равен начальному. Разумеется, импульс сохраняется только для замкнутой системы. Видим, что замкнутость– понятие относительное и зависит от внешней силы и времени наблюдения. Так как полного равенства суммы внешних сил F нулю практически не бывает, важно, чтобы произведение Fдельтаt было малым по сравнению с характерными значениями импульсов тел системы. Даже маленькая сила в течение длительного времени может заметно изменитьполны й импульс. Наоборот, если время дельтаt мало, то и при значительной внешней силе изменение импульса будет малым, то есть приближенно импульс будет сохраняться. Например, часто закон сохранения импульса применяют в задачах с коротким временем взаимодействия тел (удар, выстрел) даже при наличии внешних сил. Примеры. 1. Если Земля сталкивается с астероидом, то систему (Земля + астероид) можно считатьзамкнутой на интервале времени порядка недели, хотя на оба тела с боль- шой силой действует Солнце. Теперьра ссмотрим эту же систему на промежутке времени в 3 месяца. За это время импульс системы (в основном, конечно, Земли) повернется на прямой угол и его изменение будет существенным: дельтаP = P · корень из2 . Тогда, конечно, систему нельзя считать замкнутой. 2. Пусть охотник, стоя в лодке, стреляет под углом а к горизонту. Какую скорость приобретет лодка в результате отдачи? Обычно говорят, что в горизонтальном направлении не видно внешних сил, и горизонтальная компонента импульса должна сохраняться. Начальный импульс нулевой, и можно написатьраве нство импульсов до и после выстрела: Px( до ) = 0 = Mux + mv cos а = Px( после ), откуда ux = ?mvcosа/M (M – сумма масс охотника и лодки). Посмотрим, однако, что будет с вертикальной компонентой. Время выстрела дельтаt порядка L/v , где L – длина ствола. Подставляя L = 1 м и v = 500 м/с, получаем дельтаt ? 2 · 10в?3 с. Характерный импульс по вертикали Py = mv sin а при а = 30? равен 0,01 · 5 · 10в2/2 = 2,5 кг·м/с в системе СИ. Чтобы нарушить сохранение вертикального импульса за время выстрела дельтаt , нужна внешняя сила порядка Py/дельтаt = 2,5/2 · 10в?3 ? 10в3 = 1000 кГ. Если пренебрегать горизонтальными силами, то с тем же основанием можно пренебречьи вертикальными: вес лодки и охотника вначале компенсирован архимедовой силой. Поэтому лодка приобретет и вертикальную скорость uy = mv sin а/M , направленную вниз, а полная скорость лодки будет u = ?mv/M. Затем лодка начнет погружаться, и только через несколько колебаний (т.е. несколько секунд) она полностью потеряет вертикальный импульс (система станет незамкнутой по вертикали). Решение, пренебрегающее вертикальной скоростью, скорее подходит для стрельбы с бронепоезда, опирающегося на жесткие рельсы. Конечно, мы для упрощения предполагали жесткую связь лодки и охотника. Встречаются случаи, когда система не полностью замкнута, то есть имеется внешняя сила F<>0, но все же сохраняется проекция импульса, перпендикулярная F . Например, при полете тела в поле тяжести сила mg направлена вертикально, и горизонтальная проекция импульса сохраняется (если пренебречь сопротивлением воздуха). При ударе упругого тела о стенку, если нет трения, сохраняется составляющая импульса, параллельная стенке (сила взаимодействия перпендикулярна стенке). Мы получили закон сохранения импульса из законов Ньютона. Однако в физике часто нельзя однозначно разделить аксиомы и теоремы. Покажем (следуя курсу Р.Фейнмана), что сохранение импульса естественно вытекает из симметрии взаимодействий. Сначала рассмотрим столкновение двух одинаковых тел с одинаковыми по величине, но противоположно направленными скоростями. Пусть происходит абсолютно неупругий удар, то есть после соударения образуется единое тело. Очевидно из симметрии, что получившееся тело после удара будет неподвижным (в исходной системе отсчета). Тогда имеем равенство mv +m · (?v) = 0 . Пока это просто алгебраическое тождество: справа записан результат сложения. Но можно понимать это равенство и как закон сохранения импульса (в данном частном случае). Слева имеем импульс системы до удара, справа – после удара (произведение массы получившегося тела на нулевую скорость) . Рассмотрим то же соударение в системе отсчета, которая связана со вторым телом до удара. Для перехода в эту систему нужно ко всем скоростям прибавить v, и получим тождество: m · 2v + m · 0 = 2m · v . Отсюда видно, что масса суммарного тела должна быть суммой масс «реагентов». Только при этом условии такое равенство выполняется в новой (и несложно показать, что в любой) системе отсчета. Скорость же при столкновении одинаковых тел равна средней арифметической из скоростей до удара. Теперь пусть сталкивается тело массы 3m, движущееся со скоростью v , с неподвижным телом m. Представим себе, что тело массы 3m составное (2m+1m) и что сначала ударяется передняя масса 1m. Из предыдущих рассуждений понятно, что получится составное тело массы 2m, имеющее скорость v/2 . Теперь пусть налетает со скоростью v оставшаяся масса 1На самом деле лодка толкает окружающую воду. Кроме массы M, двинется примерно такая же масса воды. Поэтому довольно большая импульсная сила реакции воды во время выстрела появится. Из-за нее и горизонтальная, и вертикальная скорость уменьшатся, возможно, в два раза, но не до нуля 2m и образуется тело массы 4m имеющее (среднюю арифметическую) скорость 3v/4. Опять можно записать: 3m*v + m *0 = 4m*3v/4 . Снова суммирование масс позволяет одновременно прибавить к каждой скорости одинаковую величину и таким образом рассмотреть столкновение в любой системе отсчета. Подобные же выкладки можно провести для любой комбинации масс. Оказывается, что сумма произведе- ний масс тел на их скорость равна произведению полной массы образовавшегося тела на его скорость. А это и есть закон сохранения импульса. На первый взгляд, применение составных тел – это «неосторожный» прием. Что если тела сплошные? На самом деле, хотя такие последовательные удары, конечно, частный случай, но реально тела взаимодействуют отнюдь не сразу всей массой. Например, при ударе стержней по ним от места контакта распространяется волна сжатия, и материал вовлекается во взаимодей- ствие хоть и быстро, но постепенно. Значение закона сохранения импульса в том и состоит, что он выполняется абсолютно независимо от деталей взаимодействия, их можно даже не знать. «Доказать» закон, а лучше сказать – угадать его можно только для специальных частных слу- чаев, зная что-то о взаимодействии. Окончательно же убедиться в верности закона сохранения импульса можно только на практике. Рассматривая изменение импульса, например, каждого из соударяющихся тел по отдель- ности, можно прийти к необходимости введения внешних воздействий. Силу определим как F = dP/dt. Это будет второй закон Ньютона. Далее, из закона сохранения импульса видно, что при взаимодействии пары любых тел F12 = ?F21 . Тогда изменения импульсов партнеров будут противоположны. А это уже – частный случай третьего закона Ньютона. Конечно, все эти рассуждения требуют обобщения и опытной проверки. Сейчас эту проверку можно считать выполненной. Достаточно представить себе изобилие действующих механизмов. Все они подчиняются механике Ньютона.